Kısa Yol Değil, İlk Adım: BSO'dan Korelasyon Katsayısına (r) Geçiş

Bu yazıda yer alan değerlendirmeler, herhangi bir kurumun beyanı veya görüşü değildir. Verilen bilgiler, İstatistiksel Araştırma Süreci Teması’nın yaklaşımı doğrultusunda metinde ele alınan konular hakkında okuyucuyu bilgilendirme amacıyla ele alınmıştır.

BSO (Bölgelere Göre Sayım Oranı) ve Korelasyon Katsayısı (r)

Bu yazının amacı, TYMM Matematik Dersi Öğretim Programı 11. sınıf düzeyi İstatistiksel Araştırma Süreci temasında ve ders kitabında yer alan iki nicel değişken arasındaki ilişkililiği, matematik öğretim programının tüm sınıflar düzeyinde istatistiksel araştırma sürecine yaklaşımı çerçevesinde değerlendirmektir.

Genel olarak bakıldığında TYMM Matematik Öğretim Programının, tüm sınıflar seviyesinde;

• İstatistiksel araştırma sürecini, aşamalarını birbiriyle ilişkilendirerek bütüncül bir yapı şeklinde ele aldığı,
• İstatistiksel kavramların, işlemsel yönünden ziyade kavram öğretimine odaklandığı görülmektedir.

Özellikle kavram öğretimine odaklı yaklaşım, istatistik öğretimini matematik öğretiminden farklılaştırmakta, istatistiksel kavramların ele alınış biçimini matematiksel kavramların ele alınış biçiminden ayrıştırmaktadır.

Bu doğrultuda yazının devamında, 11. Sınıf İstatistiksel Araştırma Süreci Teması’nda yer alan BSO’dan korelasyon katsayısına geçiş ve aralarındaki ilişki anlamlandırılmaya çalışılacaktır.

BSO ve Korelasyon Katsayısı (r) Arasındaki Fark

TYMM Matematik Dersi Öğretim Programı BSO'yu, öğrencilerin doğrudan r değerine geçmeden önce "ilişki" fikrini sezgisel olarak keşfetmelerini sağlayan bir özetleme aracı olarak konumlandırmaktadır. Diğer bir deyişle BSO, r’nin basitleştirilmiş bir alternatifi ya da onu hesaplamanın başka bir yolu görülmemelidir. Korelasyon katsayısına geçildiğinde ise r değerinin formülle hesaplanması değil istatistik yazılımıyla elde edilmesi beklenmektedir.

Bu noktada 11. Sınıf matematik kitabında geçen "Korelasyon katsayısının hesaplanmasında kullanılan yöntemlerden biri de BSO (bölgelere göre sayım oranı) yöntemidir." ifadesini şu doğrultuda okumak gerekmektedir: BSO r'yi elle hesaplamanın alternatif bir yolu olarak değil, r'ye varmadan önce ilişkinin yönü ve kaba gücü hakkında fikir veren bir ilk adım olarak görülmelidir. Nitekim kitabın kendi örneklerinde de BSO hiçbir zaman r'nin yerine geçmemekte ve r ayrıca, yazılımla hesaplanmaktadır. Yöntemlerden birinin BSO olarak isimlendirilmesi korelasyon katsayısına geçişten önce bu kavramlara öğrenciyi hazırlamaktır.

BSO Nedir?

BSO, serpme diyagramını ortalamalardan geçen iki eksenle dört bölgeye ayırır ve her noktanın yalnızca hangi bölgede olduğuna bakar:

BSO = [(1. ve 3. bölgedeki toplam nokta sayısı) − (2. ve 4. bölgedeki toplam nokta sayısı)] / Toplam nokta sayısı

Bu formül ile elde edilen oran ilişkinin yönü hakkında kabaca bilgi verirken gücü hakkında gerçekçi bilgiyi sunmamaktadır. Kitapta ilişkinin yönü ve gücü ile ilgili yorumlar, korelasyon katsayısına (r) geçmeden ilişki ve yön kavramı hakkında öğrencilere fikir vermek amacıyla sunulmaktadır. Bu noktada BSO’nun bu sınırlılığı korelasyon katsayısına geçişte mutlaka vurgulanmalıdır.

Bu basit hesaplama, BSO'nun hem avantajı hem dezavantajı olarak görülebilir. Bir nokta ortalamaya çok yakın veya çok uzak da olsa, BSO'ya katkısı aynıdır. Aşağıda yer alan her iki serpme diyagramında dört adet değer aynı bölgelerde yer almaktadır.

Her iki dağılım için BSO hesaplandığında değerin 0 olduğu görülmektedir. Ancak iki nicel değişken arasındaki ilişki açısından bakıldığında birinci serpme diyagramındaki dağılımda ilişkinin olmayabileceği ancak ikinci serpme diyagramında ise pozitif yönde neredeyse güçlü bir ilişkinin olduğu söylenebilir. Buradaki temel fark tam da BSO’nun sınırlılığından kaynaklanmaktadır. Diğer bir deyişle nokta sayısı üzerinden yapılan kaba hesap r’de olduğu gibi verilerin ortalamadan uzaklıklarını hesaba katmamaktadır. Bu noktada dersin işlenişinde BSO hesaplandıktan sonra elde edilen değerin serpme diyagramındaki dağılımın yapısı ile birlikte yorumlanması faydalı olacaktır. Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi sadece BSO’dan elde edilen değerin ilişkinin gücü hakkında (BSO değeri doğrultusunda "ilişkinin gücü" kavramını fark ettirmek için güç yorumlansa bile) yanıltıcı olabileceği serpme diyagramındaki dağılımın yapısı üzerinden anlamlandırılmalı ve öğrenci korelasyon katsayısına (r) neden ihtiyaç duyacağını fark etmelidir.

Ders kitabının, BSO’yu ilişkinin yönü ve gücü hakkında bilgi veren bir oran olduğu ve bu oranı r korelasyon katsayısı ile ilişkilendirildiği görülmektedir. BSO sadece iki örnekte yer almakta ve sonraki aşamalardaki örneklerde veya sorularda sadece serpme diyagramı ve r korelasyon katsayısı kullanılmaktadır. Bu durumun gerekçesi BSO’yu iki nicel değişken arasındaki ilişkinin incelenmesi aşamasının başında öğrencilerin kavramlara aşina olmasını sağlamak ve sonraki aşamalarda sadece r korelasyon katsayısına odaklanmaktır. Diğer bir deyişle iki nicel değişken arasındaki ilişki incelenirken kullanılacak aracın sadece r korelasyon katsayısı olduğu, BSO’nun iki nicel değişken arasındaki ilişkinin incelendiği her soruda kullanılmamasıdır.

Ders kitabında bu detayların olmaması BSO’nun sadece iki nicel değişken arasındaki ilişkiyi sezdiren bir başlangıç aşaması olarak konumlandırılmasından kaynaklanan bir durum olarak görülmelidir. BSO başlangıç aşamasında iki nicel değişken arasındaki ilişkiye sezgisel yaklaşım amacıyla kullanılmalı, sonraki aşamalarda terk edilerek iki nicel değişken arasındaki ilişkinin gücünü ve yönünü net olarak belirlemek için korelasyon katsayısı (r) kullanılmalıdır.

Kitaptaki BSO Örnekleri ve Sorular

Kitapta yer alan örneklerden birinde, Türkiye'nin 2008–2024 yılları arasındaki zeytin ağacı ve zeytin üretimi verilerinden hareketle (TÜİK) "meyve veren zeytin ağacı sayısı" ile "üretilen sofralık zeytin miktarı" arasındaki ilişki incelenmektedir. Bu örnekte BSO ≈ 0,06 bulunmuş ve bu değer "zayıf düzey" olarak yorumlanmıştır. Aynı 17 yıllık veriyle hesaplanan korelasyon katsayısı ise r ≈ 0,47 çıkmış ve ilişki "orta düzey" bir ilişki olarak açıklanmıştır.

Buradaki fark, hesap hatasından değil, BSO'nun doğasından kaynaklanmaktadır. BSO yalnızca "uyumlu bölgedeki nokta fazlalığının" oranını vermiş, doğasında var olan sınırlılık nedeniyle doğal olarak noktaların ortalamadan ne kadar uzaklaştığını hesaba katmamıştır.

Bu örnekte olduğu gibi dağınık ama yine de orta düzeyde ilişkili bir veri setinde BSO, r'den belirgin biçimde düşük çıkabilir. Dersin işlenişinde bu noktayı vurgulamak, öğrencilerin "BSO düşük çıktı, demek ki ilişki zayıf" yorumunu çıkarmasını önleyecek, öğrencinin BSO’nun zayıf kaldığı noktayı görmesini, kesin güç kararını her zaman korelasyon katsayısı (r) ile vermesini gerektiğini anlamasını ve aslında korelasyon katsayısına (r) duyulan ihtiyacın fark edilmesini sağlayacaktır. Bunun için ders işlenirken BSO’nun serpme diyagramındaki dağılımla birlikte incelenmesi ve BSO’nun sınırlılığının farkedilmesi sağlanmalıdır.

Kitapta yer alan bir diğer örnekte, 2010–2021 yılları arasında orman alanı ile heyelan sayısı arasındaki ilişki incelenmektedir ve sıklık tablosunda 12 veri olduğu görülmektedir. Ancak devamındaki serpme diyagramlarından Grafik 3’te 12 veri varken, Grafik 4’te 11 veri yer almaktadır. Sıklık tablosundaki veriler doğrultusunda hazırlanan serpme diyagramı aşağıda yer almaktadır.

 

Bu diyagrama göre kitapta yer alan Grafik 4’ün doğru olduğu Grafik 3’ün ise veri kayması veya sehven yapılan bir hata nedeniyle hatalı olabilir. Sıklık tablosunda 12 veri varken diyagramda 11 veri görünmesi ise tabloda aynı değerlere sahip iki verinin (2013 ve 2014 yıllarına ait veriler) bulunmasından kaynaklanabilir. Serpme diyagramında üst üste binen verilerin tek bir değer gibi görünmesinden kaynaklı BSO hesaplanırken hesaplamanın 11 nokta üzerinden yapılmasıdır. Aslında Grafik 4’ün hemen altındaki açıklamada 1. Bölgedeki nokta sayısı 5 olarak belirtilmiş olsa da iki yönlü sıklık tablosunda sehven 4 olarak verilmiştir.

Bununla birlikte BSO’nun zaten kabaca bir hesaplama olduğu tekrar hatırlanmalıdır. 12 nokta ile yapılan hesaplamada oran yaklaşık 0,33 iken, 11 nokta ile yapılan hesaplamada oran yaklaşık 0,27’dir. Burada sehven yapılan hata yapılmasa da elde edilen sonucun yine de ilişki hakkında sağlıklı bilgi vermeyeceği görülmektedir. Çünkü aynı veriyle korelasyon katsayısı (r) değeri hesaplandığında (kitapta bu örnek sadece BSO için verilmiş ve henüz korelasyon katsayısı ile ilişkinin incelenmesine geçilmediği için korelasyon katsayısı (r) hesaplanmamıştır) yaklaşık 0,68 çıkmaktadır. Diğer bir deyişle ilişkinin yönünü ve gücünü belirleyen asıl değer r korelasyon katsayısıdır.

Bu noktada vurgulanması gereken önemli durumlardan biri de yukarıdaki örnekte olduğu gibi istatistiksel kavramların öğretiminde matematiksel kesinliğin aranmamasına dikkat edilmesidir. Diğer bir deyişle noktaların sayımıyla elde edilen değer, BSO’nun kullanım amacının ve verdiği sınırlı bilginin önüne geçmemelidir.

Aritmetik Ortalama Üzerindeki Değerler

Serpme diyagramında BSO hesaplanırken aritmetik ortalamalar üzerine denk gelen değerler kitapta "hiçbir bölgeye dahil edilmez" şeklinde açıklanmıştır. Literatürde her iki durumun uygulandığı örnekler mevcuttur. Ancak kitaptaki yaklaşım bölgelere dahil edilmemesi şeklindedir. Yine burada BSO’nun sınırlılıkları göz önünde bulundurularak öğrencilere ilişki kavramının verilmesi öne çıkmaktadır. Aritmetik ortalamaya eşit değerlerin sayılıp sayılmayacağı yönünde kafa karışıklığının önüne geçilmesi için BSO’nun iki nicel değişken arasındaki ilişki hakkında kabaca bilgi verdiği unutulmamalıdır. Aşağıdaki serpme diyagramları bu durumu farklı bir açıdan da ele alarak değerlendirmek için hazırlanmıştır. Diyagram 3’ün 3. bölgesindeki bir nokta Diyagram 4’te 4. bölgeye taşınmıştır (yeşil nokta).

Aşağıdaki tabloda her iki diyagramdaki dağılım için BSO ve korelasyon katsayısı (r) değerleri yer almaktadır.

Burada dikkat edilmesi gereken "Demek ki aritmetik ortalamaya denk gelen değerler sayılmadığında BSO daha doğru veya daha yanlış sonuç verir" çıkarımını yapmak yerine yine BSO’nun sınırlılığıdır. Dağılımdaki bir verinin değerinin az da olsa değişmesi BSO oranlarını tümüyle değiştirirken korelasyon katsayısını (r) çok az etkilemektedir. Bu durum yine BSO’nun sınırlılığıyla ilişkilidir ve aslında BSO’yu ders işlenişinde ne şekilde ele alınması gerektiğini göstermektedir.

Aykırı Değerler

İki nicel değişken arasındaki ilişkiyi etkileyen durumlardan biri de aykırı değerlerdir. TYMM Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, sadece iki nicel değişken arasındaki ilişki incelenirken aykırı değerlerin ilişkiye etkisinin öğrenci tarafından fark edilmesini değil tüm dağılımlarda aykırı değerlerin analiz sonuçlarını etkileyeceğini vurgular (9.sınıf düzeyinde aykırı değerlerin aritmetik ortalamayı, ortancaya göre daha fazla etkilediği gibi). Bu noktada BSO’nun aykırı değerler karşısındaki davranışını incelemek, bu oranın neden sadece kabaca bilgi verdiğinin anlaşılmasına katkı sunacaktır. Aşağıda bu durumu açıklamak için serpme diyagramları oluşturulmuştur.

Soldaki serpme diyagramına tek bir aykırı (uç) değer eklenerek (sağ üstteki mavi nokta) sağdaki serpme diyagramı oluşturulmuştur. Bu değer aritmetik ortalamaları değiştirdiğinden bölgelerdeki nokta sayıları da doğal olarak değişmiştir. Soldaki diyagramda yer alan dağılımda BSO 0,33 iken sağdaki diyagramda yer alan dağılımda BSO 0,43’tür. Ancak soldaki diyagramda r değeri 0,69 iken sağdaki diyagramda 0,92’dir. Yine bu durum BSO’nun sınırlılığından kaynaklanmaktadır.

Şu durum da unutulmamalıdır. İki nicel değişken arasındaki ilişki incelenirken istatistiksel olarak dağılımdaki birçok ön koşula bakılır. Dağılımın normal dağılıp dağılmadığı, dağılımda aykırı değer olup olmadığı, doğrusal olup olmadığı (öğretim programında sadece doğrusal ilişkilere yer verilmektedir) gibi. Bu gibi durumlar tespit edildikten sonra hangi istatistiksel testle analiz yapılacağı belirlenir. Çünkü iki nicel değişken arasındaki ilişkiyi belirleyen tek bir korelasyon katsayısı yoktur. Ancak TYMM Ortaöğretim Matematik Programında farklı korelasyon katsayısı hesaplamalarına girilmediği görülmektedir. Amaç sadece öğrencinin iki nicel değişken arasındaki ilişkiyi kavramsal olarak anlamlandırmasıdır.

Son Söz

• BSO "r'nin basit hâli veya alternatifi" olarak görülmemelidir. BSO’nun iki nicel değişken arasındaki ilişkiye yönelik yalnızca yön belirttiği ve bu ilişkinin gücü hakkında kabaca (ve görece yanıltıcı) bir fikir verdiği, ilişkinin esas gücünün korelasyon katsayısı (r) ile belirlendiği akılda tutulmalıdır. BSO sadece ilişki kavramının anlaşılması için giriş bilgisi gibi kullanılmalı, sınırlılıkları vurgulanarak koralasyon katyasına (r) geçiş yapılmalı ve BSO terk edilmelidir.
• BSO = 1 ya da −1 çıktığında "mükemmel doğrusal ilişki" demenin mümkün olmadığı (yukarıda örneklerden anlaşıldığı üzere) "bütün noktalar aynı yönde uyumlu" olduğu anlaşılmalıdır. Mükemmel ilişki ifadesi yalnızca r = ±1 için kullanılır.
• TYMM Ortaöğretim Matematik Programındaki İstatistiksel Araştırma Süreci temalarının tüm sınıf düzeylerinde istatistiksel kavramların sezgisel olarak kavranması üzerine kurgulandığı unutulmamalıdır. Bu kavramların öğrencilere kazandırılması sürecinde öğrencilerin istatistiksel analizlerin gerek ve yeter şartlarının tamamı ile başa çıkmasının beklenmediği, istatistiksel sayıltıların genellikle ihmal edildiği (alanın doğruları göz ardı edilmeden) göz ardı edilmemelidir.